Peneliti Akhirnya Memecahkan Pertanyaan Matematika yang Tidak Dijawab Selama Lebih Dari 40 Tahun

PARA peneliti memecahkan masalah lama dalam topologi dengan membantu mengklasifikasikan bentuk empat dimensi (4-manifold), yang memungkinkan jenis deformasi tertentu. Yang juga dikenal sebagai pemetaan kuasiregular dari ruang Euclidean.

Susanna Heikkilä membuat terobosan signifikan dalam topologi, cabang matematika yang berkaitan dengan sifat dan bentuk permukaan geometris. Salah satu artikel dari tesis doktoralnya telah diterima untuk dipublikasikan di Annals of Mathematics, salah satu jurnal paling bergengsi di bidangnya.

Masalah yang dipecahkan Heikkilä menyangkut klasifikasi 4-manifold elips hampir teratur yang melibatkan pemahaman ruang empat dimensi mana yang dapat dibentuk dengan mengubah bentuk geometri Euclidean empat dimensi standar. Penelitiannya, yang dilakukan bersama dengan matematikawan Pekka Pankka, dirinci dalam artikel yang sekarang diterbitkan dalam Annals of Mathematics.

Baca juga : 61 Teka Teki Receh, Sulit Tapi Bikin Ngakak!

Akar masalah dapat ditelusuri kembali ke tahun 1981, ketika matematikawan Rusia-Prancis dan pemenang Hadiah Abel Mikhail (Misha) Gromov mengajukan pertanyaan mendasar, apakah keberadaan pemetaan kuasiregular harus mengikuti ketika ruang target hanya terhubung, yaitu, ketika memiliki kelompok fundamental yang sepele dan tidak ada penghalang topologis?

Pertanyaan ini tetap tidak terjawab selama beberapa dekade hingga 2019, ketika contoh tandingan empat dimensi dibangun Alexander Prywes. Karya Heikkilä dibangun di atas perkembangan ini, menawarkan wawasan baru yang mendalam tentang struktur dan keterbatasan pemetaan kuasiregular dalam empat dimensi.

"Hasil utama dari tesis doktoral saya melengkapi jawaban atas pertanyaan Gromov, karena hasilnya dapat digunakan untuk mengklasifikasikan manifold empat dimensi tertutup yang terhubung secara sederhana yang ada pemetaan kuasiregular dari ruang Euclidean," kata Susanna Heikkilä, Peneliti Pascadoktoral. 

Baca juga : 111 Teka-Teki Receh yang Bikin Kamu Senyum-Senyum Sendiri

Heikkilä yang hobinya termasuk merajut, juga menggambarkan masalah ini melalui kain rajutan. Rajutan selesai untuk ujian publiknya, di mana dia ingin menggambarkan penelitiannya dalam istilah awam.

Karya tangan menggambarkan pemetaan dari bidang ke bola, yang dikenal sebagai peta Alexander. Heikkilä merajut tambalan dengan warna berbeda dan merakitnya menjadi pola papan catur dengan kotak warna berbeda di sudut-sudutnya. 

Yang juga dibutuhkan adalah sebuah bola dengan belahan atas dan bawah berwarna berbeda. Ketika kotak catur melengkung di sekitar bola dengan sudut berwarna yang melekat satu sama lain, celah dibiarkan di antara kotak. Ini merangkum ide pemetaan kuasiregular, celah dapat ditutup dengan meregangkan kain.

Baca juga : Papan Catur Bernama Laras Terinspirasi dari Cerita Sura dan Baya, Asal-usul Nama Kota Pahlawan

Masalah Elips Kuasiregular

Geometri kuasikonformal mempelajari efek distorsi sangat kecil pada bentuk objek. Pemetaan kuasiregular menyelidiki pertanyaan-pertanyaan yang mencakup dalam geometri kuasikonformal. Contoh klasik dari pertanyaan semacam itu adalah hasil berikut berdasarkan teorema uniformisasi, satu-satunya permukaan Riemann yang mengakui pemetaan holomorfik non-sepele dari seluruh bidang kompleks adalah bola dua dimensi dan torus dua dimensi. 

Secara khusus, tidak ada pemetaan seperti itu untuk permukaan genus yang lebih tinggi. Teorema ini mengikuti karya Poincaré dan Radón pada permukaan Riemann dari awal 1900-an. Hari ini, hasil ini adalah salah satu dasar-dasar dalam buku teks tentang permukaan Riemann.

Yang sangat menarik adalah bahwa hasil pemetaan konformal dua dimensi ini tidak berubah bahkan jika apa yang diperiksa adalah pemetaan kuasiregular alih-alih yang konformal. Dalam dimensi yang lebih tinggi, geometri konformal dan kuasikonformal dibedakan secara radikal. 

Kombinasi hasil Martio, Rickman, dan Väisälä dari tahun 1971 dengan teorema Zorich dari tahun 1968 menunjukkan satu-satunya manifold Riemannian yang terhubung secara sederhana dalam dimensi yang lebih tinggi, yang ada pemetaan konformal dari ruang Euclidian, adalah ruang Euclidean itu sendiri dan bola dengan dimensi yang sama. 

Sebaliknya, pemetaan kuasiregular dapat ditemukan dari ruang Euclidean ke beberapa ruang yang berbeda. Manifold semacam itu disebut 'quasiregularly elliptic.'